lmjaelani@gmail.com
1
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
MATRIK dan RUANG VEKTOR
A. Matrik
1. Pendahuluan
Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan
bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut:
am am amn
a a a n
a a a n
1 2 ...
: :
21 22 ... 2
11 12 ... 1
urutan di atas disebut sebuah matrik mXn, karena memiliki m baris dan n
kolom.
Aturan simbol matrik:
a. menggunakan kurung siku [ ]
b. menggunakan kurung biasa ( )
c. menggunakan bentuk
d. Nama matrik disimbolkan dengan hurup besar, A, B dsb
e. Elemen matrik di simbolkan dengan hurup kecil miring
karena matrik merupakan urutan – urutan bilangan berdimensi dua, maka
diperlukan dua subskrip untuk menyatatakan setiap elemennya. Menurut
perjanjian, subskrip pertama menyatakan baris, subskrip kedua menyatakan
kolom. amn . m menyatakan baris, n menyatakan kolom. setiap matrik yang
memiliki baris dan kolom sama (m=n) disebut matrik persegi (square matrice).
Contoh matrik
0 1
1 0
,
c d
a b
, (1,2,3,3)
lmjaelani@gmail.com
2
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Bukan matrik,
1
1 0
,
c
b
2. Operasi Matrik;
a. Kesamaan
Dua matrik A dan B dikatakan sama (A=B), jika dan hanya jika
elemen yang bersangkutan sama. aij=bij untuk setiap i,j
Contoh:
A =
0 1
1 0
, B=
0 1
1 0
A = B, karena a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22,
A =
0 1
2 0
, B=
0 1
1 0
A 0 B, karena a11 0 b11
b. Perkalian dengan bilangan Skalar
Bila diberikan sebuah matrik A dan sebuah bilangan skalar k, hasil kali k
dan A didefinisikan sebagai kA;
kA =
kam kam kamn
ka ka ka n
k a ka ka n
1 2 ...
: :
21 22 ... 2
. 11 12 ... 1
setiap elemen dari A dikalikan langsung dengan k. Hasil kali kA
merupakan sebuah matrik lain yang mempunyai m baris dan n baris,
dimana m dan n ini sama dengan m dan n matrk asli (matrik A)
c. Penjumlahan
Matrik C merupakan hasil penjumlahan dari matrik A dan matrik B,
dimana jumlah baris dan kolom matrik A harus sama dengan matrik B.
Didefinisikan:
lmjaelani@gmail.com
3
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
cij = aij+bij
C =
cm cm cmn
c c c n
c c c n
1 2 ...
: :
21 22 ... 2
11 12 ... 1
=
am am amn
a a a n
a a a n
1 2 ...
: :
21 22 ... 2
11 12 ... 1
+
bm bm bmn
b b b n
b b b n
1 2 ...
: :
21 22 ... 2
11 12 ... 1
=
+ + +
+ + +
+ + +
am bm am bm amn bmn
a b a b a n b n
a b a b a n b n
1 1 2 2 ...
: :
21 21 22 22 ... 2 2
11 11 12 12 ... 1 1
pernyataan ini dapat diringkas menjadi
C = A + B
Hukum Asosiatip
A + B = B + A
A + (B + C) = (A+B) + C
d. Pengurangan
Aturan yang berlaku pada operasi Pengurangan sama dengan yang
berlaku pada operasi penjumlahan.
A – B = A + (-) B
e. Perkalian antar matrik
lmjaelani@gmail.com
4
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Jika diberikan sebuah m X n matrik A dan sebuah n X r matrik B, hasil
kali AB didefinisikan sebagai m X r matrik C, dimana elemen elemennya
dihitung dari elemen elemen dari A, B menurut.
cij = =
n
k
aikbkj
1
, i = 1,...,m j= 1,..., r
Dalam hasil kali matrik AB, matrik A disebut pengali muka dan B pengali
belakang. Hasil kali AB ditentukan hanya kalau jumlah kolom di A sama
dengan jumlah baris di B
Aturan:
A dan B bisa dikalikan jika dan hanya jika jumlah kolom di A sama
dengan jumlah baris di B
Contoh:
A =
6 1
3 2
, B =
5
4
C = AB
=
+
+
[6(4) 1(5)]
[3(4) 2(5)]
=
29
22
Berlaku hukum Asosiatif
= (AB) C = A (BC) = A B C
Berlaku hukum Distributif
= A (B + C) = AB + BC
Latihan :
lmjaelani@gmail.com
5
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Tunjukkan dengan penghitungan sebenarnya bahwa berlaku hukum asosiatif
pada perkalian matrik berikut:
A=
3 4
a 1
, B=
1 8 9
0 b 7
, C =
1 4 0
2 1
3 7 1
c
Di mana:
a, b, c = dua digit terakhir NRP Anda
lmjaelani@gmail.com
6
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
IDENTITAS, SKALAR, DIAGONAL DAN MATRIK NOL
Matrik Identitas:
Definisi: Matrik bujur sangkar yang mempunyai angka angka satu sepanjang diagonal
utama (diagonal dari kiri atas sampai kanan bawah) dan elemen elemen lainnya
bernilai nol.
Matrik Identitas disimbolkan dengan I atau In, dimana n merupakan orde matrik
I = I4 =
0 0 .0.. 1
0 0 1 0
0 1 .0.. 0
1 0 0 0
Jika A adalah sebuah matrik persegi dari orde n dan I adalah matrik identitas dari
orde n, maka:
IA= AI = A
I2 = I, I3 = I
Matrik Skalar:
Untuk setiap skalar K, matrik bujur sangkar
S = k <ij = k. I
disebut matrik skalar
Matrik Diagonal:
Sebuah matrik bujur sangkar
D = ki <ij
Disebut sebuah amtrik diagonal.
Perhatikan bahwa ki dapat berubah dengan i
Contoh:
lmjaelani@gmail.com
7
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
(1 )
0 2
2 0
= (2)
0 1
1 0
adalah matrik skalar
(2)
0 0 3
0 1 0
2 0 0
adalah matrik diagonal
Matrik Nol:
Sebuah matrik yang elemen elemennya nol disebut matrik nol dan dinyatakan dengan
symbol 0.
Sebuah matrik NOL tidak perlu bujur sangkar
Contoh:
0=
0 0
0 0
, 0=
0 0 0
0 0 0
, 0=
0
0
0
lmjaelani@gmail.com
8
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
TRANSPOSE, MATRIK SIMETRIS, MATRIK SIMETRIS MIRING
Transpose:
Definisi; transpose dari sebuah matrik A = aij adalah sebuah matrik dibentuk dari A
dengan menukar baris baris dan kolom kolom sehingga bari i dari A menjadi kolom i
dari matrik transpose. Transpose disimbolkan dengan A’.
A = aij
A’= aji
Contoh:
A =
2 5
1 3
, A’=
3 5
1 2
B =
0 1 0
1 3 4
, B’=
4 0
3 1
1 0
Jika A adalah matrik m X n, maka A’ adalah matrik n X m
Perlu Anda perhatikan:
1. jika C = A + B maka C’ = A’ + B’
2. (AB)’ = B’ A’
3. I’ = I
4. (A’)’ = A
Matrik Simetris:
Matrik simetris terjadi jika matrik A sama dengan matrik A’, A= A’
Catatan: elemen diagonal adalah sembarang
Contoh:
7 5 1
0 3 5
2 0 7
lmjaelani@gmail.com
9
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Matrik Simetris miring:
Matrik simetris terjadi jika matrik A sama dengan matrik -A’, A=-A’
Catatan: elemen diagonal adalah nol
Contoh:
-
- -
2 3 0
1 0 3
0 1 2
lmjaelani@gmail.com
10
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Latihan:
Buktikan bahwa:
1. IA= AI = A
2. I2 = I, I3 = I
3. jika C = A + B maka C’ = A’ + B’
4. (AB)’ = B’ A’
5. I’ = I
6. (A’)’ = A
lmjaelani@gmail.com
11
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Pemisahan Matriks, Determinan
Pemisahan Matriks
Matriks ‘kecil’ yang dibentuk dari pemisahan sebuah matriks disebut Matriks Bagian
(sub-matriks)
Sub-matriks : jika kita mempunyai matrik Amn kemudian kita coret semua baris-baris
kecuali baris k dan semua kolom kolom keculi kolom s, maka akan diperoleh matrik k
x s. Matrik Aks ini disebut matrik bagian Amn
Contoh:
A42 =
0 0 .0.. 1
0 0 1 0
0 1 .0.. 0
1 0 0 0
, jika kita coret baris ke 1 dan ke 4, serta kolom ke1 dan
kolom ke3, maka akan diperoleh:
A22 =
0 0
1 0
Ada beberapa alasan untuk melakukan pemisahan matrik, diantaranya:
1. Pembagian dapat menyederhanakan penulisan atau pencetakan dari A
2. Ia menunjukkan beberapa susunan khusus dari A yang perlu diperhatikan
3. Pemisahan ini akan Memudahkan penghitungan
Sekarang kita akan mempertimbangkan pembagian dari sebuah pandangan yang
lebih umum.
A=
51 52 53 54
41 42 43 44
31 32 33 34
21 22 23 24
11 12 13 14
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
, bayangkan A dibagi menjadi empat oleh garis
garis putus seperti yang terlihat, sekarang kita memiliki 4 matrik baru:
lmjaelani@gmail.com
12
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
A-11 =
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
, A-12 =
24
14
a
a
A-21 =
51 52 53
41 42 43
31 32 33
a a a
a a a
a a a
A22 =
54
44
34
a
a
a
,
sehingga A dapat ditulis sebagai:
A =
- -
- -
21 22
11 12
A A
A A
Operasi matrik A dan B dapat dilakukan dengan operasi matrik matrik bagian dari A
dan B, hal ini akan memudahkan penghitungan
Jika kita memiliki matrik A dan membaginya sebagai berikut:
A =
4 1 7
2 5 0
1 3 2
=
- -
- -
21 22
11 12
A A
A A
A-11=
2 5
1 3
, A-12 =
0
2
, A-21 = [4 1], A-22 = [7]
Kita jika memiliki matrik B dan membaginya sebagai berikut
B =
6 0 1
2 4 5
0 1 2
=
- -
- -
21 22
11 12
B B
B B
;
B-11=
2
0
, B-12 =
4 5
1 2
, B-21 = [6], B-22=[0 1]
lmjaelani@gmail.com
13
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Cara Penghitungan Biasa:
C= AB dengan mengalikan matriks matriks langsung tanpa pembagian:
C =
4 1 7
2 5 0
1 3 2
6 0 1
2 4 5
0 1 2
=
44 8 20
10 22 29
18 13 19
Cara penghitungan dengan pembagian:
C =
- -
- -
21 22
11 12
A A
A A
- -
- -
21 22
11 12
B B
B B
=
- - + - - - - + - -
- - + - - - - + - -
( 21. 11) ( 22. 21) ( 21. 12) ( 22. 22)
( 11. 11) ( 12. 21) ( 11. 12) ( 12. 22)
A B A B A B A B
A B A B A B A B
Dimana,
A-11.B-11+A-12.B-21=
2 5
1 3
2
0
+
0
2 [ ] 6 =
10
6
+
0
12
=
10
18
A-11.B-12+A-12.B-22=
2 5
1 3
4 5
1 2
+
0
2 [ ] 1 0 =
22 29
13 17
+
0 0
0 2
=
22 29
13 19
A-21.B-11+A-22.B-21=[ ] 1 4
2
0
+[7][6] =[44]
A-21.B-12+A-22.B.22=[ ] 1 4
4 5
1 2
+[7][0 1] = [8 13]+[0 7] = [8 20]
Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut
C=
44 8 20
10 22 29
18 13 19
Determinan
lmjaelani@gmail.com
14
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Notasi | |
Sebuah determinan orde dua didefinisikan sebagai
21 22
11 12
a a
a a
= a11a22-a12a21
Determinan orde tiga didefinisikan sebagai
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
Beberapa sifat Determinan:
1. Penukaran dua kolom dalam suatu matrik An mengubah tanda dari |A |
|A | =
3 4
1 2
= -2, jika dua kolom ditukar maka determinan yang baru adalah
|A | =
4 3
2 1
=2
2. Penukaran dua baris dalam suatu matrik An mengubah tanda dari |A |
3. Jika suatu matriks mempunyai du baris dan dua kolom yang sama maka
Determinannya = 0
4. |A | = |A’ |
|A | =
3 2
4 1
=5
5. |A | = x, maka |k A | = k2x
+
-
lmjaelani@gmail.com
15
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Latihan :
1. tentukan cara pembagian matriks A dan B jika akan dilakukan perkalian matriks
A dan B
2. Buktikan sifat determinan berikut, untuk matrik orde >2
o Penukaran dua kolom dalam suatu matrik An mengubah tanda dari |A |
o Penukaran dua baris dalam suatu matrik An mengubah tanda dari |A |
o |A | = x, maka |k A | = k2x
lmjaelani@gmail.com
16
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Kofaktor, Pengembangan Kofaktor untuk menghitung determinan
suatu Matriks,Adjoint dan Invers Matrik
Kofaktor
Kofaktor Aij dari elemen aij dari sebuah matriks bujur sangkar A adalah (-1)i+j
kali determinan dari matriks matrik bagian (sub matric) yang diperoleh dari A
dengan mencoret baris i dan kolom j
A =
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
Kofaktor Aij diperoleh dengan mencoret baris I dan kolom j dan mengalikan(-
1)i+j dengan determinan yang dihasilkan, sehingga:
A11= (-1)1+1
32 33
22 23
a a
a a
= (+) a22 a33 - a23 a32
A12= (-1)1+2
31 33
21 23
a a
a a
= (-) a21 a33 - a23 a31
A13= (-1)1+3
31 32
21 22
a a
a a
= (+) a21 a32 - a22 a31
A21= (-1)2+1
32 33
12 13
a a
a a
= (-) a12 a33 – a13 a32
A22= (-1)2+2
31 33
11 13
a a
a a
= (+) a11 a33 – a13 a31
A23= (-1)2+3
31 32
11 12
a a
a a
= (-) a11 a32 – a12 a31
A31= (-1)3+1
22 23
12 13
a a
a a
= (+) a12 a23 – a13 a22
lmjaelani@gmail.com
17
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
A32= (-1)3+2
21 23
11 13
a a
a a
= (-) a11 a23 – a13 a21
A33= (-1)3+3
21 22
11 12
a a
a a
= (+) a11 a22 – a12 a21
Pengembangan Kofaktor untuk menghitung determinan suatu Matriks:
A = a11A11+a12A12+a13A13
= a21A21+a22A22+a23A23
= a31A31+a32A32+a33A33
Adjoint:
Adjoin merupakan dari matrik matrik kofaktor.
Jika kofaktor A = [X] maka adjoint A = [X]’
Invers Matrik:
Simbol invers matrik A = A-1, ini tidak sama dengan 1/A karena Operasi matrik
tidak mengenal istilah pembagian matriks.
Jika AB = BA = I, jika matrik semacam B ada, maka B adalah matriks Invers
dari A. sehingga A A-1 = A-1 A = I
Rumus mencari invers:
A-1 = adj A
A
.
| |
1
Matriks Singular dan Matriks tidak Singular.
Matriks bujur sangkar A dikatakan Singular jika A = 0, tidak singular jika A 0
0. Matriks yang bisa diinvers hanya Matriks tidak Singular.
Contoh:
A =
21 22
11 12
a a
a a
A-1 = adj A
A
.
| |
1
|A| = a11a22 – a12 a21
Adj A =?
lmjaelani@gmail.com
18
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Kofaktor A =
-
-
12 11
22 21
a a
a a
, sehingga Adj A=
-
-
21 11
22 12
a a
a a
A-1 =
11 22 12 21
1
a a - a a
-
-
21 11
22 12
a a
a a
Sifat sifat invers:
(AB)-1 =B-1 A-1
(A-1)-1 = A
(A’) -1 = (A-1)’
(A-1)’A’ = I = A’ (A-1)’
lmjaelani@gmail.com
19
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Aplikasi Operasi Matrik
Metode Matriks dalam Perataan kwadrat Terkecil
AX =L+V
A =
am am amn
a a a n
a a a n
1 2 ...
: :
21 22 ... 2
11 12 ... 1
X =
3
:
2
1
x
x
x
L =
3
:
2
1
l
l
l
V =
3
:
2
1
v
v
v
ATA X =ATL
X = (ATA)-1 ATL
Contoh:
Solusi:
Persamaan pengamatan
X+ Y =393.65
X =190.40
Y =203.16
Persamaan pengamatan dengan, memasukkan Residual error (v)
X+ Y =393.65+v1
X+ 0 =190.40+v2
0+ Y =203.16+v3
jika di rubah ke bentuk matrik :
X=190.40 Y= 203.16
A B C
393.65
lmjaelani@gmail.com
20
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
A =
0 1
1 0
1 1
, X=
y
x
, L=
203.16
190.40
393.65
, V=
3
2
1
v
v
v
ATA=
1 0 1
1 1 0
0 1
1 0
1 1
=
1 2
2 1
(ATA)-1= 1/3
-
-
1 2
2 1
, ATL=
596.81
584.05
X = (ATA)-1 ATL
=1/3
-
-
1 2
2 1
596.81
584.05
=
203.19
190.43
Untuk melihat ketelitian, kita bisa menghitung:
Matrik Sisa (V) =AX-L
=
0 1
1 0
1 1
203.19
190.43
=
-
0.03
0.03
0.03
Standar Deviasi = 0= VTV r
VTV =[- 0.03 0..03 0.03]
-
0.03
0.03
0.03
= [0.0027]
= 0 = 0.0027 (3 - 2) = ± 0.052
= x =± 0.052 2 / 3= ± 0.042
= x =± 0.052 2 / 3= ± 0.042
1
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
MATRIK dan RUANG VEKTOR
A. Matrik
1. Pendahuluan
Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan
bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut:
am am amn
a a a n
a a a n
1 2 ...
: :
21 22 ... 2
11 12 ... 1
urutan di atas disebut sebuah matrik mXn, karena memiliki m baris dan n
kolom.
Aturan simbol matrik:
a. menggunakan kurung siku [ ]
b. menggunakan kurung biasa ( )
c. menggunakan bentuk
d. Nama matrik disimbolkan dengan hurup besar, A, B dsb
e. Elemen matrik di simbolkan dengan hurup kecil miring
karena matrik merupakan urutan – urutan bilangan berdimensi dua, maka
diperlukan dua subskrip untuk menyatatakan setiap elemennya. Menurut
perjanjian, subskrip pertama menyatakan baris, subskrip kedua menyatakan
kolom. amn . m menyatakan baris, n menyatakan kolom. setiap matrik yang
memiliki baris dan kolom sama (m=n) disebut matrik persegi (square matrice).
Contoh matrik
0 1
1 0
,
c d
a b
, (1,2,3,3)
lmjaelani@gmail.com
2
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Bukan matrik,
1
1 0
,
c
b
2. Operasi Matrik;
a. Kesamaan
Dua matrik A dan B dikatakan sama (A=B), jika dan hanya jika
elemen yang bersangkutan sama. aij=bij untuk setiap i,j
Contoh:
A =
0 1
1 0
, B=
0 1
1 0
A = B, karena a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22,
A =
0 1
2 0
, B=
0 1
1 0
A 0 B, karena a11 0 b11
b. Perkalian dengan bilangan Skalar
Bila diberikan sebuah matrik A dan sebuah bilangan skalar k, hasil kali k
dan A didefinisikan sebagai kA;
kA =
kam kam kamn
ka ka ka n
k a ka ka n
1 2 ...
: :
21 22 ... 2
. 11 12 ... 1
setiap elemen dari A dikalikan langsung dengan k. Hasil kali kA
merupakan sebuah matrik lain yang mempunyai m baris dan n baris,
dimana m dan n ini sama dengan m dan n matrk asli (matrik A)
c. Penjumlahan
Matrik C merupakan hasil penjumlahan dari matrik A dan matrik B,
dimana jumlah baris dan kolom matrik A harus sama dengan matrik B.
Didefinisikan:
lmjaelani@gmail.com
3
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
cij = aij+bij
C =
cm cm cmn
c c c n
c c c n
1 2 ...
: :
21 22 ... 2
11 12 ... 1
=
am am amn
a a a n
a a a n
1 2 ...
: :
21 22 ... 2
11 12 ... 1
+
bm bm bmn
b b b n
b b b n
1 2 ...
: :
21 22 ... 2
11 12 ... 1
=
+ + +
+ + +
+ + +
am bm am bm amn bmn
a b a b a n b n
a b a b a n b n
1 1 2 2 ...
: :
21 21 22 22 ... 2 2
11 11 12 12 ... 1 1
pernyataan ini dapat diringkas menjadi
C = A + B
Hukum Asosiatip
A + B = B + A
A + (B + C) = (A+B) + C
d. Pengurangan
Aturan yang berlaku pada operasi Pengurangan sama dengan yang
berlaku pada operasi penjumlahan.
A – B = A + (-) B
e. Perkalian antar matrik
lmjaelani@gmail.com
4
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Jika diberikan sebuah m X n matrik A dan sebuah n X r matrik B, hasil
kali AB didefinisikan sebagai m X r matrik C, dimana elemen elemennya
dihitung dari elemen elemen dari A, B menurut.
cij = =
n
k
aikbkj
1
, i = 1,...,m j= 1,..., r
Dalam hasil kali matrik AB, matrik A disebut pengali muka dan B pengali
belakang. Hasil kali AB ditentukan hanya kalau jumlah kolom di A sama
dengan jumlah baris di B
Aturan:
A dan B bisa dikalikan jika dan hanya jika jumlah kolom di A sama
dengan jumlah baris di B
Contoh:
A =
6 1
3 2
, B =
5
4
C = AB
=
+
+
[6(4) 1(5)]
[3(4) 2(5)]
=
29
22
Berlaku hukum Asosiatif
= (AB) C = A (BC) = A B C
Berlaku hukum Distributif
= A (B + C) = AB + BC
Latihan :
lmjaelani@gmail.com
5
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Tunjukkan dengan penghitungan sebenarnya bahwa berlaku hukum asosiatif
pada perkalian matrik berikut:
A=
3 4
a 1
, B=
1 8 9
0 b 7
, C =
1 4 0
2 1
3 7 1
c
Di mana:
a, b, c = dua digit terakhir NRP Anda
lmjaelani@gmail.com
6
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
IDENTITAS, SKALAR, DIAGONAL DAN MATRIK NOL
Matrik Identitas:
Definisi: Matrik bujur sangkar yang mempunyai angka angka satu sepanjang diagonal
utama (diagonal dari kiri atas sampai kanan bawah) dan elemen elemen lainnya
bernilai nol.
Matrik Identitas disimbolkan dengan I atau In, dimana n merupakan orde matrik
I = I4 =
0 0 .0.. 1
0 0 1 0
0 1 .0.. 0
1 0 0 0
Jika A adalah sebuah matrik persegi dari orde n dan I adalah matrik identitas dari
orde n, maka:
IA= AI = A
I2 = I, I3 = I
Matrik Skalar:
Untuk setiap skalar K, matrik bujur sangkar
S = k <ij = k. I
disebut matrik skalar
Matrik Diagonal:
Sebuah matrik bujur sangkar
D = ki <ij
Disebut sebuah amtrik diagonal.
Perhatikan bahwa ki dapat berubah dengan i
Contoh:
lmjaelani@gmail.com
7
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
(1 )
0 2
2 0
= (2)
0 1
1 0
adalah matrik skalar
(2)
0 0 3
0 1 0
2 0 0
adalah matrik diagonal
Matrik Nol:
Sebuah matrik yang elemen elemennya nol disebut matrik nol dan dinyatakan dengan
symbol 0.
Sebuah matrik NOL tidak perlu bujur sangkar
Contoh:
0=
0 0
0 0
, 0=
0 0 0
0 0 0
, 0=
0
0
0
lmjaelani@gmail.com
8
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
TRANSPOSE, MATRIK SIMETRIS, MATRIK SIMETRIS MIRING
Transpose:
Definisi; transpose dari sebuah matrik A = aij adalah sebuah matrik dibentuk dari A
dengan menukar baris baris dan kolom kolom sehingga bari i dari A menjadi kolom i
dari matrik transpose. Transpose disimbolkan dengan A’.
A = aij
A’= aji
Contoh:
A =
2 5
1 3
, A’=
3 5
1 2
B =
0 1 0
1 3 4
, B’=
4 0
3 1
1 0
Jika A adalah matrik m X n, maka A’ adalah matrik n X m
Perlu Anda perhatikan:
1. jika C = A + B maka C’ = A’ + B’
2. (AB)’ = B’ A’
3. I’ = I
4. (A’)’ = A
Matrik Simetris:
Matrik simetris terjadi jika matrik A sama dengan matrik A’, A= A’
Catatan: elemen diagonal adalah sembarang
Contoh:
7 5 1
0 3 5
2 0 7
lmjaelani@gmail.com
9
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Matrik Simetris miring:
Matrik simetris terjadi jika matrik A sama dengan matrik -A’, A=-A’
Catatan: elemen diagonal adalah nol
Contoh:
-
- -
2 3 0
1 0 3
0 1 2
lmjaelani@gmail.com
10
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Latihan:
Buktikan bahwa:
1. IA= AI = A
2. I2 = I, I3 = I
3. jika C = A + B maka C’ = A’ + B’
4. (AB)’ = B’ A’
5. I’ = I
6. (A’)’ = A
lmjaelani@gmail.com
11
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Pemisahan Matriks, Determinan
Pemisahan Matriks
Matriks ‘kecil’ yang dibentuk dari pemisahan sebuah matriks disebut Matriks Bagian
(sub-matriks)
Sub-matriks : jika kita mempunyai matrik Amn kemudian kita coret semua baris-baris
kecuali baris k dan semua kolom kolom keculi kolom s, maka akan diperoleh matrik k
x s. Matrik Aks ini disebut matrik bagian Amn
Contoh:
A42 =
0 0 .0.. 1
0 0 1 0
0 1 .0.. 0
1 0 0 0
, jika kita coret baris ke 1 dan ke 4, serta kolom ke1 dan
kolom ke3, maka akan diperoleh:
A22 =
0 0
1 0
Ada beberapa alasan untuk melakukan pemisahan matrik, diantaranya:
1. Pembagian dapat menyederhanakan penulisan atau pencetakan dari A
2. Ia menunjukkan beberapa susunan khusus dari A yang perlu diperhatikan
3. Pemisahan ini akan Memudahkan penghitungan
Sekarang kita akan mempertimbangkan pembagian dari sebuah pandangan yang
lebih umum.
A=
51 52 53 54
41 42 43 44
31 32 33 34
21 22 23 24
11 12 13 14
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
, bayangkan A dibagi menjadi empat oleh garis
garis putus seperti yang terlihat, sekarang kita memiliki 4 matrik baru:
lmjaelani@gmail.com
12
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
A-11 =
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
, A-12 =
24
14
a
a
A-21 =
51 52 53
41 42 43
31 32 33
a a a
a a a
a a a
A22 =
54
44
34
a
a
a
,
sehingga A dapat ditulis sebagai:
A =
- -
- -
21 22
11 12
A A
A A
Operasi matrik A dan B dapat dilakukan dengan operasi matrik matrik bagian dari A
dan B, hal ini akan memudahkan penghitungan
Jika kita memiliki matrik A dan membaginya sebagai berikut:
A =
4 1 7
2 5 0
1 3 2
=
- -
- -
21 22
11 12
A A
A A
A-11=
2 5
1 3
, A-12 =
0
2
, A-21 = [4 1], A-22 = [7]
Kita jika memiliki matrik B dan membaginya sebagai berikut
B =
6 0 1
2 4 5
0 1 2
=
- -
- -
21 22
11 12
B B
B B
;
B-11=
2
0
, B-12 =
4 5
1 2
, B-21 = [6], B-22=[0 1]
lmjaelani@gmail.com
13
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Cara Penghitungan Biasa:
C= AB dengan mengalikan matriks matriks langsung tanpa pembagian:
C =
4 1 7
2 5 0
1 3 2
6 0 1
2 4 5
0 1 2
=
44 8 20
10 22 29
18 13 19
Cara penghitungan dengan pembagian:
C =
- -
- -
21 22
11 12
A A
A A
- -
- -
21 22
11 12
B B
B B
=
- - + - - - - + - -
- - + - - - - + - -
( 21. 11) ( 22. 21) ( 21. 12) ( 22. 22)
( 11. 11) ( 12. 21) ( 11. 12) ( 12. 22)
A B A B A B A B
A B A B A B A B
Dimana,
A-11.B-11+A-12.B-21=
2 5
1 3
2
0
+
0
2 [ ] 6 =
10
6
+
0
12
=
10
18
A-11.B-12+A-12.B-22=
2 5
1 3
4 5
1 2
+
0
2 [ ] 1 0 =
22 29
13 17
+
0 0
0 2
=
22 29
13 19
A-21.B-11+A-22.B-21=[ ] 1 4
2
0
+[7][6] =[44]
A-21.B-12+A-22.B.22=[ ] 1 4
4 5
1 2
+[7][0 1] = [8 13]+[0 7] = [8 20]
Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut
C=
44 8 20
10 22 29
18 13 19
Determinan
lmjaelani@gmail.com
14
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Notasi | |
Sebuah determinan orde dua didefinisikan sebagai
21 22
11 12
a a
a a
= a11a22-a12a21
Determinan orde tiga didefinisikan sebagai
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
Beberapa sifat Determinan:
1. Penukaran dua kolom dalam suatu matrik An mengubah tanda dari |A |
|A | =
3 4
1 2
= -2, jika dua kolom ditukar maka determinan yang baru adalah
|A | =
4 3
2 1
=2
2. Penukaran dua baris dalam suatu matrik An mengubah tanda dari |A |
3. Jika suatu matriks mempunyai du baris dan dua kolom yang sama maka
Determinannya = 0
4. |A | = |A’ |
|A | =
3 2
4 1
=5
5. |A | = x, maka |k A | = k2x
+
-
lmjaelani@gmail.com
15
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Latihan :
1. tentukan cara pembagian matriks A dan B jika akan dilakukan perkalian matriks
A dan B
2. Buktikan sifat determinan berikut, untuk matrik orde >2
o Penukaran dua kolom dalam suatu matrik An mengubah tanda dari |A |
o Penukaran dua baris dalam suatu matrik An mengubah tanda dari |A |
o |A | = x, maka |k A | = k2x
lmjaelani@gmail.com
16
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Kofaktor, Pengembangan Kofaktor untuk menghitung determinan
suatu Matriks,Adjoint dan Invers Matrik
Kofaktor
Kofaktor Aij dari elemen aij dari sebuah matriks bujur sangkar A adalah (-1)i+j
kali determinan dari matriks matrik bagian (sub matric) yang diperoleh dari A
dengan mencoret baris i dan kolom j
A =
31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
Kofaktor Aij diperoleh dengan mencoret baris I dan kolom j dan mengalikan(-
1)i+j dengan determinan yang dihasilkan, sehingga:
A11= (-1)1+1
32 33
22 23
a a
a a
= (+) a22 a33 - a23 a32
A12= (-1)1+2
31 33
21 23
a a
a a
= (-) a21 a33 - a23 a31
A13= (-1)1+3
31 32
21 22
a a
a a
= (+) a21 a32 - a22 a31
A21= (-1)2+1
32 33
12 13
a a
a a
= (-) a12 a33 – a13 a32
A22= (-1)2+2
31 33
11 13
a a
a a
= (+) a11 a33 – a13 a31
A23= (-1)2+3
31 32
11 12
a a
a a
= (-) a11 a32 – a12 a31
A31= (-1)3+1
22 23
12 13
a a
a a
= (+) a12 a23 – a13 a22
lmjaelani@gmail.com
17
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
A32= (-1)3+2
21 23
11 13
a a
a a
= (-) a11 a23 – a13 a21
A33= (-1)3+3
21 22
11 12
a a
a a
= (+) a11 a22 – a12 a21
Pengembangan Kofaktor untuk menghitung determinan suatu Matriks:
A = a11A11+a12A12+a13A13
= a21A21+a22A22+a23A23
= a31A31+a32A32+a33A33
Adjoint:
Adjoin merupakan dari matrik matrik kofaktor.
Jika kofaktor A = [X] maka adjoint A = [X]’
Invers Matrik:
Simbol invers matrik A = A-1, ini tidak sama dengan 1/A karena Operasi matrik
tidak mengenal istilah pembagian matriks.
Jika AB = BA = I, jika matrik semacam B ada, maka B adalah matriks Invers
dari A. sehingga A A-1 = A-1 A = I
Rumus mencari invers:
A-1 = adj A
A
.
| |
1
Matriks Singular dan Matriks tidak Singular.
Matriks bujur sangkar A dikatakan Singular jika A = 0, tidak singular jika A 0
0. Matriks yang bisa diinvers hanya Matriks tidak Singular.
Contoh:
A =
21 22
11 12
a a
a a
A-1 = adj A
A
.
| |
1
|A| = a11a22 – a12 a21
Adj A =?
lmjaelani@gmail.com
18
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Kofaktor A =
-
-
12 11
22 21
a a
a a
, sehingga Adj A=
-
-
21 11
22 12
a a
a a
A-1 =
11 22 12 21
1
a a - a a
-
-
21 11
22 12
a a
a a
Sifat sifat invers:
(AB)-1 =B-1 A-1
(A-1)-1 = A
(A’) -1 = (A-1)’
(A-1)’A’ = I = A’ (A-1)’
lmjaelani@gmail.com
19
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
Aplikasi Operasi Matrik
Metode Matriks dalam Perataan kwadrat Terkecil
AX =L+V
A =
am am amn
a a a n
a a a n
1 2 ...
: :
21 22 ... 2
11 12 ... 1
X =
3
:
2
1
x
x
x
L =
3
:
2
1
l
l
l
V =
3
:
2
1
v
v
v
ATA X =ATL
X = (ATA)-1 ATL
Contoh:
Solusi:
Persamaan pengamatan
X+ Y =393.65
X =190.40
Y =203.16
Persamaan pengamatan dengan, memasukkan Residual error (v)
X+ Y =393.65+v1
X+ 0 =190.40+v2
0+ Y =203.16+v3
jika di rubah ke bentuk matrik :
X=190.40 Y= 203.16
A B C
393.65
lmjaelani@gmail.com
20
Lalu Muhamad Jaelani
Jurusan Teknik Geomatika
ITS Surabaya
A =
0 1
1 0
1 1
, X=
y
x
, L=
203.16
190.40
393.65
, V=
3
2
1
v
v
v
ATA=
1 0 1
1 1 0
0 1
1 0
1 1
=
1 2
2 1
(ATA)-1= 1/3
-
-
1 2
2 1
, ATL=
596.81
584.05
X = (ATA)-1 ATL
=1/3
-
-
1 2
2 1
596.81
584.05
=
203.19
190.43
Untuk melihat ketelitian, kita bisa menghitung:
Matrik Sisa (V) =AX-L
=
0 1
1 0
1 1
203.19
190.43
=
-
0.03
0.03
0.03
Standar Deviasi = 0= VTV r
VTV =[- 0.03 0..03 0.03]
-
0.03
0.03
0.03
= [0.0027]
= 0 = 0.0027 (3 - 2) = ± 0.052
= x =± 0.052 2 / 3= ± 0.042
= x =± 0.052 2 / 3= ± 0.042
Tidak ada komentar:
Posting Komentar